Exercice 2 RDM 3/4

Soit une poutre droite AB, à plan moyen, chargée par une charge répartie uniformément de valeur "p" par ml.

Déterminer les variations de N, Ty, Mtz

1/ choix du repère (voir sur la figure)

2/ Identifications des inconnues d'appuis :

                   Un appuis simple en A = Va inconnue

                   Un appui en B = Vb inconnue

                   Ces inconnues sont prises, par hypothèse positive selon xAy

3/ Équations fondamentales de la statique

Il n'existe aucune force ni réaction horizontale, l'équation est donc vérifiée.

Cette 2ème équation comprend 2 inconnues, elle ne peut être résolue

Cette 3ème équation permet d'extraire Vb:

4/ déterminer N, Ty, Mtz

La poutre doit être étudiée en 1 "tronçon".

En parcourant la poutre de gauche à droite depuis le point"A", nous rencontrons les "événements" suivants:

Présence de la réaction d'appuis "Va" et de la force répartie"p".

Il faut donc créer 1 section, que nous appellerons S d'abscisse "x".

Etude de N, Ty, Mtz dans "S"         0

N= 0

Ty+Va- px = 0                                          Ty = - pl/2 + px

Mtz - Va.x  +1/2 px²                                Mtz = (pl. x/2)-(px2/2)

Cette équation, du 2 eme degré, représente une parabole

Pour x = 0 mtz = 0                 Pour x = L Mtz = 0

Pour x = L/2  la dérivée de Mtz est = 0

La valeur maxi de Mtz est donc  Mz = pl2 /8

5/représentation graphique de N, Ty, Mtz

Récapitulatifs des livres et documents techniques du blog

Conception et technologie bois

Construction de maison ossature bois - Eyrolles – 2011
Construire en Bois - Le Moniteur
Ontario Construction Guide For Housing - 2010

Conception et technologie Géotechnique et acier

Construction avec profilés Creux en Acier – Soditube
Crane- supporting Steel Structures - CISC-ICCA
Fondation et Ouvrages en Terre – Eyrolles
Manuel d'ingénierie Canadienne des Fondations

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Panorama de la physique - Edition Belin
Autocad 2012 Bible - Finkelstein – Wiley
Ce que disent les Fluides - Edition Belin
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Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM ) suite

Effectuons cette opération (produit en croix) avec :
 
On obtient:

 En identifiant l'égalité terme à terme on obtient:

 

Ces 2 expressions mettent en relations les contraintes et les éléments de réduction des forces de "gauche" réduit au centre de gravité "G".

Dans la suite du cours nous reprendrons l'étude de ces expressions.

Exercices N°1

Soit le système matériel plan, constitué d'une poutre droite soumise à 1 force verticale "P" et un force horizontale "Q".

 

Déterminer les réactions d'appuis

Etablir les équations représentant les variations de N, Ty, Mtz

Représenter ces variations sur un graphique.

Pour résoudre ces types de problèmes il faut suivre la méthodologie suivante:

1/ Choisir un repère : (voir chapitre N°1)

2/ Identifier les inconnues aux réactions d'appuis (voir chapitre N°1)

3/ Ecrire et résoudre les 3 équations fondamentale de la statique

4/ Découper la poutre en autant de "sections droites" que "d'évènement".Un évènement est constitué par une action, une réaction ou un changement de direction de la poutre. Il faut "lire "la structure de gauche à droite en identifiant chaque évènement.

Dans notre exemple il existe donc 2 sections à étudier.

Les positions de ces sections sont définies depuis l'origine du repère choisi.

5/Exprimer dans chaque section les valeurs de N, Ty, Mtz

6/représenter graphiquement les variations.

Solution

1/ choix du repère (voir sur la figure)

2/ Identifications des inconnues d'appuis :

          Un appuis simple en A = Va inconnue

          Une articulation en B = Vb et Hb inconnues

          Ces inconnues sont prises, par hypothèse positive selon xAy

3/ Equations fondamentales de la statique

Cette équation (1) permet immédiatement de déterminer Hb!

Hb = -Q

Cette 2 ème équation comprend 2 inconnues, elle ne peut être résolue

Cette 3eme équation permet d'extraire Vb:

 

A partir de l'équation N° (1) nous pouvons exprimer Va:

4/ déterminer N, Ty, Mtz

La poutre doit être étudiée en 2 "tronçons".

En parcourant la poutre de gauche à droite depuis le point"A", nous rencontrons les "événements" suivants:

1/ présence de la réaction d'appuis "Va" et de la force horizontale"Q"

2/ présence de la force "P"

Il faut donc créer 2 sections, que nous appellerons S₁ et S₂ d'abscisse "x".

Etude de N, Ty, Mtz dans "S₁"        0

N+ Q = 0

Ty+Va = 0

Mtz-Va.x= 0

Équation d'une droite, pour x=0 Mtz =0;     pour x=a Mtz = -a.Va

Etude de N, Ty, Mtz dans "S₂"        a

N+Q = 0

Ty+Va-P = 0

Mtz-Va.x+P(x-a) = 0

Équation d'une droite Mtz=aVa pour x=a  et Mtz=0 pour x=o

  

5/représentation graphique de N, Ty, Mtz

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Relations entres contraintes et N, Ty, Tz, Mtx, MTy, Mtz.

  

1/ principe de saint -Venant:

Les contraintes et déformations (supposées de faible amplitude) dans une section éloignée des points d'application des forces extérieures ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre située à gauche de la section étudiée.

 2/ Loi de Hooke

Les contraintes et déformations sont liées par une relation linéaire.

De même il existe une relation linaire entres forces appliquées et contraintes Cette loi permet d'appliquer le principe de superposition

La loi de Hooke définie le domaine "élastique".Prenons par exemple une barre soumise à un effort de traction. Sous l'application de l'effort la barre s'allonge. Si l'on double l'effort l'allongement sera doublé. Si l'on enlevé toute force la barre reprend sa géométrie initiale. On dira que ce système est dans le domaine "élastique".

Cette loi, très importante, permet de décomposer un chargement complexe en la somme de chargements simples. Les applications de cette loi seront étudiées dans les prochains chapitres.

3/ Définition de la notion de contrainte:

Nous avons vu que les forces extérieures appliquées au système peuvent se réduire, au niveau d'une section droite, par des composantes N, Ty, Tz, Mtx'Mty'Mtz représentées au point "G" centre de gravité de la section.

Cette analyse conduit à retenir que les efforts se transmettent d'une section à la section voisine uniquement par concentrations des actions au centre de gravité; Bien entendu cette approche n'est pas conforme à la réalité.en fait les efforts se transmettent d'une section à l'autre par chaque grain de matière.

Nous désignerons par "ds" une surface élémentaire d'une section droite (S) quelconque. "M" est le point situé au centre de gravité de "ds".

Par définition nous appellerons"contrainte" la valeur de la force élémentaire c.ds Lorsque "ds" tend vers 0.

La somme des actions des forces élémentaires "c.ds" est égale aux composantes concentrées au point"G" centre de gravité de "S"

Nous allons chercher les relations entres les composantes de "c.ds" pour l'ensemble des points "M" et les composantes N, T, Tz, Mtx, Mty, Mtz au point "G".

4.0 relations entre c.ds et N, Ty, Tz, Mtx, Mty, Mtz

Exprimons que la somme des "c.ds"étendue à la section"S" est égale aux composantes de "R" et "Mt R" appliquée en G ".

En identifiant l'égalité terme à terme on obtient:

Nous pouvons également exprimer que la somme des moments des" c.ds", par rapport au point"G" est égale au moment résultant"Mt R":

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Relation entre N, Ty et Mtz (Partie 2)

Soit une poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan.Considérons un tronçon de poutre compris entre 2 sections droites distantes de dx.

Cherchons à exprimer des relations simples entre les éléments de réduction en G₀ et les éléments de réduction en G₁.

On suppose que les valeurs de N, Ty, Mtz sont connues dans la section S₀

A priori les valeurs de N, Ty, Mtz dans la section "S₁" sont différentes de celles en "S₀".mais on peut les exprimer par rapport aux valeurs en S₀ par les expressions suivantes:

                                      N (S1) = - (N (S0) +dN)

                                     Ty (S1) = - (Ty (S0) +dTy)

                                     Mtz (S1) = -(Mtz (S0) +dMtz)

Le signe négatif est justifié par le fait que le tronçon étudié est en équilibre.

Plusieurs cas de chargement peuvent être envisagés entre les 2 sections:

charge verticale ponctuelle "P", charge répartie "p(x)", charge horizontale ponctuelle"H".

Nous allons étudier successivement ces différents cas de charge p.

1/ charge verticale ponctuelle « P »

Ecrivons que le tronçon est en équilibre.

1/Somme des projections des forces sur Gy = 0

        Ty - (Ty+dTy) + P = 0     d'où  dTy = P

2/Somme des projections des forces sur Gx = 0

       N - (N+dN) = 0      d'où  dN = 0

3/Somme des moments par rapport à O’

   

dTy.dx  est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

    

2/ Charge verticale répartie p(x)o

Ecrivons que le tronçon est en équilibre.

1/Somme des projections des forces sur Gy = 0

                  

Ty - (Ty+dTy) + p(x) dx = 0  

       

2/ Somme des projections des forces sur Gx = 0

N - (N+dN) = 0   

d'où  dN = 0

3/ Somme des moments par rapport à  O’

  

   

dty.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

3/ charge horizontale  ponctuelle "H"


Écrivons que le tronçon est en équilibre.

1/Somme des projections des forces sur Gy = 0

                  Ty - (Ty+dTy) = 0            d'où  dTy= 0

2/Somme des projections des forces sur Gx = 0

                   N - (N+dN) + H = 0         d'où  dN = H

3/Somme des moments par rapport à G = 0

dTy.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre. D'où :

  

Conclusions sur les relations entres N, Ty, Mtz

Dans le cas des poutres droites à plan moyen chargées dans ce plan uniquement par des forces extérieures verticales les variations de N,Ty,Mtz entres 2 sections proches de dx vérifient les équations suivantes:

Ces expressions permettent d'exprimer les variations de N, Ty, Mtz le long d'une poutre. La difficulté réside dans le fait que la fonction qui définie le chargement n'est pas continue, par conséquence la résolution ne peut se faire que par tronçons.

Deux méthodes peuvent être utilisées.

1/ Par intégration des expressions précédentes .

Cette solution conduit à faire apparaître des constantes d'intégration, les valeurs de ces constantes sont obtenues par interprétations des conditions limites de la poutre : valeurs aux appuis …

2/ Par écriture des équations d'équilibre.

N  + Somme des projections sur Gx des forces situées à gauche de "S" = 0

Ty +  Somme des projections sur Gy des forces situées à gauche de "S" = 0

Mtz + Somme des moments / G des forces situées à gauche de "S" = 0

A partir de ces  expressions il est possible de représenter graphiquement les variations :N,Ty,Mtz  en fonction de x.

Le chapitre suivant à pour objet l'application de ces notions dans les cas les plus courants.

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Généralités et définitions (Partie 1)

A  Une poutre est définie par le déplacement d'une section " S " le long d'un axe curviligne " s ".

B  Si la section " S " possède un plan de symétrie alors la poutre est dite" poutre à plan moyen". 

C  Dans le cas de la poutre représentée ci-dessous la section " S " possède un plan de jsymétrie (xGy).

G est le centre de gravité (cdg) de la section "S".

Les axes x, y, z sont choisis selon le sens direct.

Soit "P" un plan normal à l'axe "s" qui sépare la poutre en 2 parties. La partie gauche est appelée "A " et la partie droite " B ".

Nous supposons que la poutre, dans son ensemble, est en équilibre sous l'effet des actions extérieures Fi; Mti, Fj, Mtj et des réactions au niveau de ses appuis.

Si nous considérons la partie "A " , nous pouvons dire qu'elle est en équilibre sous les actions extérieures Fi,Mti ,les réactions d'appuis existant sur la partie "A"  et l'effet de la partie "B" transmis à la partie "A " par le plan "P".

 L'effet de la partie "B" peut être représenté par un torseur appliqué au centre de gravité de "S". Les composantes de ce torseur sont :

                   1/       R   =  Résultante des forces

                   2/       Mr  =  Résultante des moments

De même l’effet de la partie « A » sur la partie « B » est représenté par R’ et MR’. Lorsque les deux parties sont « recollées » alors les quantités R, R’ et MR, MR’ s’annulent mutuellement.

Puisque la Partie "A" est en équilibre nous pouvons écrire les équations fondamentales de l'équilibre :

            1.0   Somme des forces = 0

            2.0   Somme des moments par rapport à un point quelconque  = 0

Par ailleurs nous pouvons décomposer la résultante R et le moment résultant Mr selon leurs projections sur les trois axes x, y, z.

Les projections de R sont dans le cas le plus général:


N  effort normal sur Gx

Ty effort tranchant sur Gy

Tz effort tranchant sur Gz

Les projections de Mr sont dans le cas le plus général:

1/Mtx moment de torsion sur Gx

2/Mty moment fléchissant sur Gy

3/Mtz moment fléchissant sur Gz

                  

L'équilibre de la partie "A" permet d'écrire:

N  +  Somme des projections des forces Fi sur Gx =0

Ty +  Somme des projections des forces Fi sur Gy =0

Tz +  Somme des projections des forces Fi sur Gz =0

Mtx +  Somme des projections des moments Mti/G sur Gx =0 

Mty + Somme des projections des moments Mti/G sur Gy =0

Mtz +  Somme des projections des moments Mti/G sur Gz =0

Dans le cas particulier de poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan, les équations d'équilibre de la partie "A" se réduisent:

N   + Somme des projections des forces Fi sur Gx =0

Ty  + Somme des projections des forces Fi sur Gy =0

Mtz + Somme des projections des moments Mi/G sur Gz =0

Voici le cours de résistance des matériaux partie 3. Cours RDM -3/4.


 Il y a  5 grands chapitres dans le cours. Voici la répartition des chapitres:


Chapitre N°1 Rappels sur la mécanique et introduction à la RdM (Cours RDM -1/4)

Chapitre N°2 Caractéristiques géométriques des sections  (Cours RDM -2/4)

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3 de 4)

Chapitre N°4 Compression – Traction  (Cours RDM 4 de 4)

Chapitre N°5 Étude des structures à treillis  (Cours RDM 4 de 4)

Exercice 3.0 ( Partie 2/4)

Voici le lien vers
l'exercice 3.0 (pdf)

Exercice 2.0 ( Partie 2/4)

Voici le lien vers
l'exercice 2.0 (pdf)