Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Relations entres contraintes et N, Ty, Tz, Mtx, MTy, Mtz.

  

1/ principe de saint -Venant:

Les contraintes et déformations (supposées de faible amplitude) dans une section éloignée des points d'application des forces extérieures ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre située à gauche de la section étudiée.

 2/ Loi de Hooke

Les contraintes et déformations sont liées par une relation linéaire.

De même il existe une relation linaire entres forces appliquées et contraintes Cette loi permet d'appliquer le principe de superposition

La loi de Hooke définie le domaine "élastique".Prenons par exemple une barre soumise à un effort de traction. Sous l'application de l'effort la barre s'allonge. Si l'on double l'effort l'allongement sera doublé. Si l'on enlevé toute force la barre reprend sa géométrie initiale. On dira que ce système est dans le domaine "élastique".

Cette loi, très importante, permet de décomposer un chargement complexe en la somme de chargements simples. Les applications de cette loi seront étudiées dans les prochains chapitres.

3/ Définition de la notion de contrainte:

Nous avons vu que les forces extérieures appliquées au système peuvent se réduire, au niveau d'une section droite, par des composantes N, Ty, Tz, Mtx'Mty'Mtz représentées au point "G" centre de gravité de la section.

Cette analyse conduit à retenir que les efforts se transmettent d'une section à la section voisine uniquement par concentrations des actions au centre de gravité; Bien entendu cette approche n'est pas conforme à la réalité.en fait les efforts se transmettent d'une section à l'autre par chaque grain de matière.

Nous désignerons par "ds" une surface élémentaire d'une section droite (S) quelconque. "M" est le point situé au centre de gravité de "ds".

Par définition nous appellerons"contrainte" la valeur de la force élémentaire c.ds Lorsque "ds" tend vers 0.

La somme des actions des forces élémentaires "c.ds" est égale aux composantes concentrées au point"G" centre de gravité de "S"

Nous allons chercher les relations entres les composantes de "c.ds" pour l'ensemble des points "M" et les composantes N, T, Tz, Mtx, Mty, Mtz au point "G".

4.0 relations entre c.ds et N, Ty, Tz, Mtx, Mty, Mtz

Exprimons que la somme des "c.ds"étendue à la section"S" est égale aux composantes de "R" et "Mt R" appliquée en G ".

En identifiant l'égalité terme à terme on obtient:

Nous pouvons également exprimer que la somme des moments des" c.ds", par rapport au point"G" est égale au moment résultant"Mt R":