Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM ) suite

Effectuons cette opération (produit en croix) avec :
 
On obtient:

 En identifiant l'égalité terme à terme on obtient:

 

Ces 2 expressions mettent en relations les contraintes et les éléments de réduction des forces de "gauche" réduit au centre de gravité "G".

Dans la suite du cours nous reprendrons l'étude de ces expressions.

Exercices N°1

Soit le système matériel plan, constitué d'une poutre droite soumise à 1 force verticale "P" et un force horizontale "Q".

 

Déterminer les réactions d'appuis

Etablir les équations représentant les variations de N, Ty, Mtz

Représenter ces variations sur un graphique.

Pour résoudre ces types de problèmes il faut suivre la méthodologie suivante:

1/ Choisir un repère : (voir chapitre N°1)

2/ Identifier les inconnues aux réactions d'appuis (voir chapitre N°1)

3/ Ecrire et résoudre les 3 équations fondamentale de la statique

4/ Découper la poutre en autant de "sections droites" que "d'évènement".Un évènement est constitué par une action, une réaction ou un changement de direction de la poutre. Il faut "lire "la structure de gauche à droite en identifiant chaque évènement.

Dans notre exemple il existe donc 2 sections à étudier.

Les positions de ces sections sont définies depuis l'origine du repère choisi.

5/Exprimer dans chaque section les valeurs de N, Ty, Mtz

6/représenter graphiquement les variations.

Solution

1/ choix du repère (voir sur la figure)

2/ Identifications des inconnues d'appuis :

          Un appuis simple en A = Va inconnue

          Une articulation en B = Vb et Hb inconnues

          Ces inconnues sont prises, par hypothèse positive selon xAy

3/ Equations fondamentales de la statique

Cette équation (1) permet immédiatement de déterminer Hb!

Hb = -Q

Cette 2 ème équation comprend 2 inconnues, elle ne peut être résolue

Cette 3eme équation permet d'extraire Vb:

 

A partir de l'équation N° (1) nous pouvons exprimer Va:

4/ déterminer N, Ty, Mtz

La poutre doit être étudiée en 2 "tronçons".

En parcourant la poutre de gauche à droite depuis le point"A", nous rencontrons les "événements" suivants:

1/ présence de la réaction d'appuis "Va" et de la force horizontale"Q"

2/ présence de la force "P"

Il faut donc créer 2 sections, que nous appellerons S₁ et S₂ d'abscisse "x".

Etude de N, Ty, Mtz dans "S₁"        0

N+ Q = 0

Ty+Va = 0

Mtz-Va.x= 0

Équation d'une droite, pour x=0 Mtz =0;     pour x=a Mtz = -a.Va

Etude de N, Ty, Mtz dans "S₂"        a

N+Q = 0

Ty+Va-P = 0

Mtz-Va.x+P(x-a) = 0

Équation d'une droite Mtz=aVa pour x=a  et Mtz=0 pour x=o

  

5/représentation graphique de N, Ty, Mtz