Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Généralités et définitions (Partie 1)

A  Une poutre est définie par le déplacement d'une section " S " le long d'un axe curviligne " s ".

B  Si la section " S " possède un plan de symétrie alors la poutre est dite" poutre à plan moyen". 

C  Dans le cas de la poutre représentée ci-dessous la section " S " possède un plan de jsymétrie (xGy).

G est le centre de gravité (cdg) de la section "S".

Les axes x, y, z sont choisis selon le sens direct.

Soit "P" un plan normal à l'axe "s" qui sépare la poutre en 2 parties. La partie gauche est appelée "A " et la partie droite " B ".

Nous supposons que la poutre, dans son ensemble, est en équilibre sous l'effet des actions extérieures Fi; Mti, Fj, Mtj et des réactions au niveau de ses appuis.

Si nous considérons la partie "A " , nous pouvons dire qu'elle est en équilibre sous les actions extérieures Fi,Mti ,les réactions d'appuis existant sur la partie "A"  et l'effet de la partie "B" transmis à la partie "A " par le plan "P".

 L'effet de la partie "B" peut être représenté par un torseur appliqué au centre de gravité de "S". Les composantes de ce torseur sont :

                   1/       R   =  Résultante des forces

                   2/       Mr  =  Résultante des moments

De même l’effet de la partie « A » sur la partie « B » est représenté par R’ et MR’. Lorsque les deux parties sont « recollées » alors les quantités R, R’ et MR, MR’ s’annulent mutuellement.

Puisque la Partie "A" est en équilibre nous pouvons écrire les équations fondamentales de l'équilibre :

            1.0   Somme des forces = 0

            2.0   Somme des moments par rapport à un point quelconque  = 0

Par ailleurs nous pouvons décomposer la résultante R et le moment résultant Mr selon leurs projections sur les trois axes x, y, z.

Les projections de R sont dans le cas le plus général:


N  effort normal sur Gx

Ty effort tranchant sur Gy

Tz effort tranchant sur Gz

Les projections de Mr sont dans le cas le plus général:

1/Mtx moment de torsion sur Gx

2/Mty moment fléchissant sur Gy

3/Mtz moment fléchissant sur Gz

                  

L'équilibre de la partie "A" permet d'écrire:

N  +  Somme des projections des forces Fi sur Gx =0

Ty +  Somme des projections des forces Fi sur Gy =0

Tz +  Somme des projections des forces Fi sur Gz =0

Mtx +  Somme des projections des moments Mti/G sur Gx =0 

Mty + Somme des projections des moments Mti/G sur Gy =0

Mtz +  Somme des projections des moments Mti/G sur Gz =0

Dans le cas particulier de poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan, les équations d'équilibre de la partie "A" se réduisent:

N   + Somme des projections des forces Fi sur Gx =0

Ty  + Somme des projections des forces Fi sur Gy =0

Mtz + Somme des projections des moments Mi/G sur Gz =0