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Vous trouverez les articles les plus récents ici :

Les contraintes dues à l'effort tranchant  (9 octobre 2012)
Compte rendu des conférences de l'ICCA (2 octobre 2012)

Calcul d'une structure Simple (partie 3/3)

On a représenté (ici graphiquement) les efforts en compression/traction dans les barres. En complément on a représenté les moments de flexion.

Calcul d'une structure Simple (partie 2/3)

3.0  Calcul de l’approche encastrée (décrite en 1.a)


Pour l’approche encastrée nous avons utilisé le logiciel RDM6 version 2011.

La structure a été modélisée de la même façon que la figure décrite dans la partie 1/3 de l’article. (note de calcul complète)

(la note de calcul complète)

+-------------------+
| RDM 6 - Ossatures 

+-------------------+

Utilisateur : nicolas
Nom du projet : structure simple
Date : 30 juin 2012

+---------------------+
| Données du problème |

+---------------------+
6 Nœuds

9 Poutres(s)
1 Matériau(x)
2 Section(s) droite(s)
2 Liaison(s) nodale(s)
1 Cas de charge(s)
1 Mode(s) propre(s) demandé(s)
+-----------------+
|  Noeud(s) [ m ] |
+-----------------+
Noeud       x         y          Noeud      x         y
  1       0.000     6.000           2     2.000     6.000
  3       2.000     3.000           4     2.000     0.000
  5       0.000     0.000           6     0.000     3.000
+---------------------------+
|  Poutres(s)  [  m , rad ] |
+---------------------------+
Poutre   Ori ->  Ext    Orient    Section  Mat    Long         Type
   1       1      2     3.1416    11     11     2.000    Rigide – Rigide
   2       2      3     0.0000    12     11     3.000    Rigide – Rigide
   3       3      4     0.0000    12     11     3.000    Rigide – Rigide
   4       4      5     0.0000    11     11     2.000    Rotule – Rotule
   5       5      6     0.0000    12     11     3.000    Rigide – Rigide
   6       6      1     0.0000    12     11     3.000    Rigide – Rigide
   7       6      3     3.1416    11     11     2.000    Rigide – Rigide
   8       1      3     0.0000    11     11     3.606    Rigide – Rigide
   9       3      5     0.0000    11     11     3.606    Rigide – Rigide

Poids de la structure = 1733.544 N (g = 10.00 m/s2)
Centre de gravité = 1.000   3.000   0.000   m
+-----------------------+
|  Section(s) droite(s) |
+-----------------------+
Le cisaillement transversal est négligé
Section droite 11 :
  Section paramétrée [ 12 ]
  U à ailes égales
  Longueur = 90.00 mm
  Hauteur = 30.00 mm
  Épaisseur de l'âme = 4.00 mm
  Épaisseur des ailes = 3.00 mm
  Aire = 5.160 cm2
  Moments quadratiques : IY = 53.831 cm4  -  IZ = 3.376 cm4
  Constante de torsion de Saint Venant J = 0.236 cm4
 Constante de gauchissement Iw =  = 46.755 cm6
  Coefficients d'aire cisaillée : ky = 0.19  kz = 0.60

Section droite 12 :
  Section paramétrée [ 4 ]  Carré creux
  Côté = 110.00 mm
  Épaisseur = 3.00 mm
  Aire = 12.840 cm2
  Moments quadratiques : IY = 245.201 cm4  -  IZ = 245.201 cm4
  Constante de torsion de Saint Venant J = 372.694 cm4
  Constante de gauchissement Iw =  = 1.449 cm6
  Coefficients d'aire cisaillée : ky = 0.42  kz = 0.42

Calcul d'une structure Simple (partie 1/3)

Présentation de la structure étudiée

Cet article comprend une analyse du calcul ainsi que le détail des résultats avec le logiciel Rdm6. La structure présentée ci-dessus sera utilisée par la suite comme référence.

 

Méthode test pour Pieux ASTM D1143-81 ( Partie 3/7)

Test de Chargement avec vérin hydraulique et avec dispositif de poids mort.

3.4.1 Centrer sur le pieu de test, ou le groupe de pieu une poutre de test en acier d’une taille suffisante et de rigidité importante pour éviter toute déformation parasite pendant la mise en chargement. Afin d’éviter tout problème de mise en place, prévoir une hauteur  suffisante entre le haut du casque de pieu et la semelle basse de la poutre afin de placer les plaques de transfert, la cellule de charge et l’élément hydraulique. Reposer les extrémités de la poutre de test sur un caisson temporaire.

Méthode test pour Pieux ASTM D1143-81 ( Partie 2/7)

3.1.4
Dans le paragraphe 3.3 et 3.4 et pour un test de pieu individuel au paragraphe 3.5, une plaque de transfert d’une épaisseur suffisante (25mm par exemple) doit être centrée sur la tête de pieu et positionnée perpendiculairement à l’axe du pieu. Dans le cas d’un test sur un groupe de pieu, il faudra considérer la position du centre de gravité du groupe de pieu afin de positionner la plaque correctement. Pour des tests de pieu individuels, la plaque de transfert ne doit pas être plus petite que le diamètre du pieu ou la dimension de la base du vérin. Pour un groupe de pieu, prévoir une taille minimale de 2x la dimension de la base du vérin.

3.1.5
       Pour des pieux en béton forés en béton armé, la plaque de transfert en acier doit être scellée dans un coulis a prise rapide. Pur des pieux en acier (forme en H), la plaque doit être soudée sur la tête de pieu. Pour les pieux en bois, la plaque doit être fixée avec sécurité et symétrie par rapport au montage soit grâce à un coulis à prise rapide et à très haute résistance soit par un autre moyen de fixation.

Méthode test pour Pieux ASTM D1143-81 ( Partie 1/7)

Dans le cadre d'un dossier sur les pieux vissés et forés, voici un bon document de référence en ce qui concerne les tests de chargement en compression axiale sur les éléments de fondations profonde regroupés sous la catégorie de Pieu. On parle  ici d'un pieu ou d'un groupe de pieu quelque soit le matériau de réalisation (bois, acier, béton) et quelque soit la technique de mise en place (battu, foré, vissé). Le document original (la norme américaine ASTM D1143-81) a été traduit en français et commenté.

Pièces de bois comprimées (calcul du flambement suite)

Voici une comparaison entre Eurocode 5 et CB71 en ce qui concerne le calcul d'un poteau carré bi-articulés.

Extrait

Généralités

Les contraintes de flexion dues à une courbure initiale, des excentricités et des déformations induites doivent être considérées, en complément de celles dues à une charge latérale quelconque.

Le flambement et le déversement latéral des poteaux doivent être vérifiés en utilisant les propriétés caractéristiques, par exemple E 0,05. Il convient de vérifier la stabilité des poteaux soumis soit à une compression soit à une combinaison de compression et de flexion.

Fichier de documentation complet (flambement des poteaux)

Fichier pour le calcul Excel (Poteau carré.pdf)

Introduction au calcul Bois - CB71 (article du 18 mai)

Introduction au calcul Bois - CB71 (complément)

Pièces de bois comprimées (calcul du flambement)

Le calcul suivant porte sur les éléments de structure comme des poteaux en bois dont la longueur est au minimum 10 fois plus grande que la plus grande des deux autres dimensions.

Le flambement des pièces élancées est un phénomène de déformation brutale survenant lorsqu'un taux de charge dépasse une limite en compression qu'il convient de déterminer. Ce phénomène aussi appelé instabilité de l'équilibre élastique est hyperbolique et non linéaire donc le principe de superposition des charges ne s'applique pas.

Longueur de flambement Lf

Il s’agit d’une longueur fictive qui est fonction de la nature des liaisons aux Extrémités. Soit Lo la longueur réelle de la pièce, alors la longueur Lf est définie selon le dessin ci-dessous :

tableau 1.0 - valeurs de Lf

L'élancement (lamba)

Il convient de calculer Lf en cm /A en cm2 / I en cm4. pour d'autres détails concernant les unités voir exemple dans la suite de l'article.


Calcul de la contrainte de compression
Pour s'assurer que le critère de flambement est respecté, on calcul la contrainte de compression N/A de la section. On vérifie que cette contrainte est inférieure a la contrainte admissible définie par le type de bois et les différents paramètres de conception (humidité et autre).


La méthode est résumée dans le tableau suivant:

Tableau 2.0 - méthode de flambement

  Exemple de calcul
  Considérons un poteau de section carrée 20cm x 20cm (catégorie II chêne).
  La hauteur est de 4.00m et les appuis sont tous les deux articulés.
  La charge normale appliquée est de 50kN.
  Vérifier le flambement de cet élément.



   Élément de réponse

   d'après le tableau 1.0 de l'article  on a: Lo=Lf=4.00m



Rq: Ce calcul ne tient pas compte des codes de calcul et des coefficient de sécurité qui sont appliqués au niveau de la contrainte. (k)

Liste des eurocodes

Les règles européennes de calcul des structures sont regroupées dans
les documents suivant :

· Eurocode 0 (EN1990)     Bases de Calcul de structures selon les états limites

· Eurocode 1 (EN1991)     Calcul des actions sur les structures (remplace NV65/N84)

Pré-requis pour les Eurocodes

Quelques définitions mathématiques utiles


Définition d’une variable aléatoire
On définit une caractéristique mécanique comme la résistance d’une barre d’acier à la traction. Si l’on réalise une série représentative de tests d’arrachement de barre, la valeur de rupture sera nécessairement orientée autour d’une moyenne avec un certain niveau de dispersion.On nomme variable aléatoire cette caractéristique mécanique et on la note X.  

Définition d’une fonction de répartition

L’ensemble des valeurs prise par la variable aléatoire X forment 1 population.

On s’intéresse à la probabilité que cette limite d’arrachement soit supérieure à

une certaine valeur connue. On affecte une fonction de répartition F(x) tel que:

Calcul des structures en bois (partie 3/10)

Généralités sur les principes de calculs aux états limites

Les bases de Calcul de structures selon les états limites sont définies dans l'Eurocode 0 (EN 1990).

(Pour une liste des différents Eurocodes).

le principe des états limites.

La fiabilité n’est jamais absolue. La sécurité de la construction d’une 

structure est considérée comme acceptable lorsque la structure répond aux

performances prévues. Un état limite correspond à une situation au-delà de

laquelle le bâtiment ne satisfait plus les exigences prévues. Il y a plusieurs 

états limites pour chacun des paramètres de performances (ou critères) prévus

par le code.Le principe du calcul aux états limites consiste a limiter la 

probabilité d’atteindre cet état par une valeur jugée acceptable, ce qui se 

traduit par l’équation :

Calcul de dallage sur pieux

Il s'agit d'un dallage industrielle typique recevant des véhicules de transport légers (voiture, chargeur et remorque) et pouvant accueillir un équipement mécanique de 3t environ sur 4 m2.

Généralités sur les pieux vissés

L’expression « pieu vissé » dans ce document fait référence à un micro- pieu en acier vissé. Il s’agit en terme simple d’une grosse vis composée d’un arbre central et de filets. L’arbre centrale est un tube en acier parfois galvanisé et les filets sont des lames circulaires de formes hélicoïdales également appelées ailettes. Ce produit est installé par une machine de chantier munie d’un moteur hydraulique. (mini- excavatrice).

Calcul des structures en bois (partie 2/10)

Actions et influences de l'environnement
Les actions à utiliser dans le calcul peuvent être obtenues selon les parties adéquates de la norme  EN 1991. Les forces extérieures agissant sur la structure et sur toute les parties la constituant sont de différentes nature :

Densités, poids propre et charges imposées

Charges de neige

Charges de vent

Actions thermiques

Actions en cours d'exécution

Actions accidentelles

Action sismique 

Stabilité d'une voûte 2/2

On cherche a généraliser le résultat suivant pour une voûte avec un nombre de pierres plus réaliste : (16 par exemple). On reprend la méthode décrite dans Stabilité d'une voûte 1/2. Nous avons modifié le poids de chaque pierre pour que le poids total de la voûte reste équivalent (P=4).

Stabilité d'une voûte 1/2

On prend comme hypothèse la même voûte que celle mentionnée dans l'article (CDGvoûte.pdf).

C'est a dire une voute en demi-arc de cercle formée de 4 pierres uniquement.

On étudie la statique du système.

On considère les hypothèses suivantes :

Le système matériel étudié est la demi-voute dans son ensemble.

Le haut de la voute est mobilisée par une réaction ;

N étant l'effort de poussée que la structure de l'église reporte sur la voûte.

Il n'y a pas d'encastrement au niveau des appuis. Chaque pierre est de même poids et chaque pierre est indéformable. Aucune pierre ne transmet de moment.

Calcul des structures en bois (partie 1/10)

Voici le lien vers la documentation qui sert de support à cet article.


Quelques définitions et termes

Broche

Tige circulaire cylindrique réalisée généralement à partir d'acier et ajustée précisément dans des avant-trous, et utilisée pour transférer des efforts perpendiculaires à l'axe de la broche.

Contreventement

Effet causé par des actions horizontales dans le plan d'un mur.

Flaches
C'est le manque de bois dans un angle d'une pièce de bois. Cette particularité est liée  au débitage du bois. La longueur et l'épaisseur sur les rives viennent réduire la section normale rectangulaire d'une poutre de bois par exemple. Par conséquence, la norme limite le nombre et les dimensions des flaches pour ne pas affecter de manière trop significative la section utile de la pièce.

La Spirale de Cornu (news)

On pourrait penser que les courbes de routes, autoroutes, et autres sorties d'autoroute suivent des lignes droites et des arcs de cercles, mais en fait il n'en est rien. Lorsqu'une portion de route droite se courbe pour rejoindre une autre route ou pour faire un virage, les ingénieurs savent que l'accélération centrifuge peut perturber la stabilité des véhicules, et le confort des passagers.

En effet un véhicule en ligne droite a vitesse constante v (donc avec accélération dv/dt = 0) qui s'engage dans une courbe en forme d'arc de cercle passe instantanément avec une accélération v2/r non nul. Cet évènement secoue les passagers. Cela vient du fait qu'on passe d'une courbure de route nul (la ligne droite) a une courbure non nul (le cercle).Afin d'éviter ce phénomène on va faire suivre a la voiture une trajectoire spéciale non circulaire qui va permettre de faire passer en douceur et de façon progressive cette accélération. Cette trajectoire spéciale est connue sous le nom de Clothoide ou encore une spirale de Cornu ou spirale d'Euler. La propriété fondamentale de cette courbe est d'avoir une courbure qui varie linéairement lorsque elle est parcourue a vitesse constante.

Dans votre voiture, vous tournez le volant progressivement de façon a assurer une meilleur maîtrise de votre véhicule. Il n'y a pas de brusque mouvement au niveau de la direction.

Bien entendu la route présente d'autres caractéristiques comme le dévers, cette inclinaison latérale vers l'intérieure qui permet d'équilibrer votre véhicule avec la force centrifuge qui a tendance a vous expulser du virage. Cette inclinaison est elle aussi introduite de façon progressive sur plusieurs dizaine de mètres. A noter que toute les chaussées droites ou courbes on un profile en toit ou simplement incliner pour permettre un écoulement des eaux de ruissellement.

Liens sur le sujet :

Définition de la Courbe mathématique et généralités (un Bon début)

http://fr.wikipedia.org/wiki/Clotho%C3%AFde

Démonstration de raccordement de courbe de Cornu sur une droite

( Plus mathématique mais très clair)

http://math.15873.pagesperso-orange.fr/Clothoide.html

Application a la conception de tracé de route , topographie et explication sur le dévers (niveau Bac+2)

http://topogr.perso.neuf.fr/rayprogr.htm

Calcul de centre de gravité

Centre de gravité de la voûte

Calculons le centre de gravité de la demi - voûte composée de 4 pierres. D’après le cours de Rdm chapitre 2 (caractéristique des sections) on exprime les moments statique :

Les différents types de maison Bois.

On présente ici 3 types de construction typique en bois.


La Construction en Rondins traditionnelle
La Construction Plateforme - Ossature Bois
La construction Poteau - Poutre


1  La Construction en Rondins traditionnelle 

Ce type de construction appelé également ossature en vois massif consiste en un empilement horizontal de profilés (rondins de bois massif ou isolés reconstitués).L'isolation est en générale très efficace; avec une bonne stabilité hygrométrique. Le renouvellement de l'air est naturellement bon.très adapté pour la construction en kit de petits bâtiments types chalet, cette méthode est peu utilisée lorsque de grandes ouvertures sont nécessaires.

2  La Construction en Plateforme ossature bois

Ce type de construction est la plus utilisée dans le monde. Il consiste en un assemblage de petits éléments en bois massifs porteurs disposés de façon très rapproché tant au niveau des murs que des planchers porteurs. En ce qui concerne la toiture, elle est constituée de fermettes légères proches et d'une séries d'élément de contreventement. Ce type de construction est très économique, avec comme inconvénient de diminuer la possibilité des ouvertures en façade notamment.

  3  La construction  en poteaux - Poutre .

Comme son nom l'indique, les éléments porteurs sont grands, espacé et libère donc un espace important au niveau architectural. mais cela vient avec une augmentation du coût de construction significative. Généralement utilisé pour des maisons moyen et haut de gamme dans lesquelles on pourrait trouver de grandes mezzanines ou de grande baies vitrées. On trouve également cette technique pour des petits bâtiments commerciaux, ou touristiques.

Chapitre N°4 Compression Traction (Cours RDM 4/4)

1.0 Définition

Une section droite est soumise à une sollicitation de compression traction si les éléments de réduction du torseur de "gauche" se réduisent uniquement à N ≠ 0

Par hypothèse les axes Gy, Gz sont axes principaux d'inertie.

2.0 Hypothèse de Navier -Bernouilli:

Cette hypothèse propose de retenir que les sections droites, après application des charges extérieures, se déforment mais restent planes. La déformation de la section peut se décomposée en translation et rotation.

Cette hypothèse permet de retenir que les allongements et raccourcissements traduisant la déformation de la section, représente le déplacement d'un plan.

3.0 Loi de Hooke:

La loi de Hooke définie le domaine élastique et permet d'écrire une relation linéaire entre les contraintes et déformations dans un élément "ds" de la section droite étudiée. Soit "E" le module d'élasticité longitudinale, et "i" le déplacement relatif.

n = E . I 

"i" représente l'allongement ou le raccourcissement de "ds" par rapport à la longueur de la pièce avant déformation.

4.0 Expression de la contrainte due à N:

Le principe de Navier Bernouilli et la loi de Hooke permettent d'écrire que la section déformée constitue un plan, c'est-à-dire l'équation d'une surface, et que la fonction représentant la variation de la contrainte est liée à ce plan.

n = Ay + bZ + C

Recherchons les valeurs A, B, C :

Dans le chapitre précèdent (théorie des poutres) nous avons établi les relations suivantes

Pour la suite voir le lien suivant
Chapitre N°4 Compression – Traction (Cours RDM 4 de 4)

News Rdm Final

voici le cours de résistance des matériaux Cours RDM.
Il y a  4 grands chapitres finalement dans le cours. Voici la répartition des chapitres
la partie sur les treillis est suprimée:


Chapitre N°1 Rappels sur la mécanique et introduction à la RdM (Cours RDM -1/4)

Chapitre N°2 Caractéristiques géométriques des sections  (Cours RDM -2/4)

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3 de 4)

Chapitre N°4 Compression – Traction (Cours RDM 4 de 4)

Exercice 2 RDM 3/4

Soit une poutre droite AB, à plan moyen, chargée par une charge répartie uniformément de valeur "p" par ml.

Déterminer les variations de N, Ty, Mtz

1/ choix du repère (voir sur la figure)

2/ Identifications des inconnues d'appuis :

                   Un appuis simple en A = Va inconnue

                   Un appui en B = Vb inconnue

                   Ces inconnues sont prises, par hypothèse positive selon xAy

3/ Équations fondamentales de la statique

Il n'existe aucune force ni réaction horizontale, l'équation est donc vérifiée.

Cette 2ème équation comprend 2 inconnues, elle ne peut être résolue

Cette 3ème équation permet d'extraire Vb:

4/ déterminer N, Ty, Mtz

La poutre doit être étudiée en 1 "tronçon".

En parcourant la poutre de gauche à droite depuis le point"A", nous rencontrons les "événements" suivants:

Présence de la réaction d'appuis "Va" et de la force répartie"p".

Il faut donc créer 1 section, que nous appellerons S d'abscisse "x".

Etude de N, Ty, Mtz dans "S"         0

N= 0

Ty+Va- px = 0                                          Ty = - pl/2 + px

Mtz - Va.x  +1/2 px²                                Mtz = (pl. x/2)-(px2/2)

Cette équation, du 2 eme degré, représente une parabole

Pour x = 0 mtz = 0                 Pour x = L Mtz = 0

Pour x = L/2  la dérivée de Mtz est = 0

La valeur maxi de Mtz est donc  Mz = pl2 /8

5/représentation graphique de N, Ty, Mtz

Récapitulatifs des livres et documents techniques du blog

Conception et technologie bois

Construction de maison ossature bois - Eyrolles – 2011
Construire en Bois - Le Moniteur
Ontario Construction Guide For Housing - 2010

Conception et technologie Géotechnique et acier

Construction avec profilés Creux en Acier – Soditube
Crane- supporting Steel Structures - CISC-ICCA
Fondation et Ouvrages en Terre – Eyrolles
Manuel d'ingénierie Canadienne des Fondations

Autres ouvrages intéressants

Toute la Résistances des matériaux - Youde Xiong
Panorama de la physique - Edition Belin
Autocad 2012 Bible - Finkelstein – Wiley
Ce que disent les Fluides - Edition Belin
La Géologie - Edition Belin

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM ) suite

Effectuons cette opération (produit en croix) avec :
 
On obtient:

 En identifiant l'égalité terme à terme on obtient:

 

Ces 2 expressions mettent en relations les contraintes et les éléments de réduction des forces de "gauche" réduit au centre de gravité "G".

Dans la suite du cours nous reprendrons l'étude de ces expressions.

Exercices N°1

Soit le système matériel plan, constitué d'une poutre droite soumise à 1 force verticale "P" et un force horizontale "Q".

 

Déterminer les réactions d'appuis

Etablir les équations représentant les variations de N, Ty, Mtz

Représenter ces variations sur un graphique.

Pour résoudre ces types de problèmes il faut suivre la méthodologie suivante:

1/ Choisir un repère : (voir chapitre N°1)

2/ Identifier les inconnues aux réactions d'appuis (voir chapitre N°1)

3/ Ecrire et résoudre les 3 équations fondamentale de la statique

4/ Découper la poutre en autant de "sections droites" que "d'évènement".Un évènement est constitué par une action, une réaction ou un changement de direction de la poutre. Il faut "lire "la structure de gauche à droite en identifiant chaque évènement.

Dans notre exemple il existe donc 2 sections à étudier.

Les positions de ces sections sont définies depuis l'origine du repère choisi.

5/Exprimer dans chaque section les valeurs de N, Ty, Mtz

6/représenter graphiquement les variations.

Solution

1/ choix du repère (voir sur la figure)

2/ Identifications des inconnues d'appuis :

          Un appuis simple en A = Va inconnue

          Une articulation en B = Vb et Hb inconnues

          Ces inconnues sont prises, par hypothèse positive selon xAy

3/ Equations fondamentales de la statique

Cette équation (1) permet immédiatement de déterminer Hb!

Hb = -Q

Cette 2 ème équation comprend 2 inconnues, elle ne peut être résolue

Cette 3eme équation permet d'extraire Vb:

 

A partir de l'équation N° (1) nous pouvons exprimer Va:

4/ déterminer N, Ty, Mtz

La poutre doit être étudiée en 2 "tronçons".

En parcourant la poutre de gauche à droite depuis le point"A", nous rencontrons les "événements" suivants:

1/ présence de la réaction d'appuis "Va" et de la force horizontale"Q"

2/ présence de la force "P"

Il faut donc créer 2 sections, que nous appellerons S₁ et S₂ d'abscisse "x".

Etude de N, Ty, Mtz dans "S₁"        0

N+ Q = 0

Ty+Va = 0

Mtz-Va.x= 0

Équation d'une droite, pour x=0 Mtz =0;     pour x=a Mtz = -a.Va

Etude de N, Ty, Mtz dans "S₂"        a

N+Q = 0

Ty+Va-P = 0

Mtz-Va.x+P(x-a) = 0

Équation d'une droite Mtz=aVa pour x=a  et Mtz=0 pour x=o

  

5/représentation graphique de N, Ty, Mtz

Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Relations entres contraintes et N, Ty, Tz, Mtx, MTy, Mtz.

  

1/ principe de saint -Venant:

Les contraintes et déformations (supposées de faible amplitude) dans une section éloignée des points d'application des forces extérieures ne dépendent que de la résultante générale et du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre située à gauche de la section étudiée.

 2/ Loi de Hooke

Les contraintes et déformations sont liées par une relation linéaire.

De même il existe une relation linaire entres forces appliquées et contraintes Cette loi permet d'appliquer le principe de superposition

La loi de Hooke définie le domaine "élastique".Prenons par exemple une barre soumise à un effort de traction. Sous l'application de l'effort la barre s'allonge. Si l'on double l'effort l'allongement sera doublé. Si l'on enlevé toute force la barre reprend sa géométrie initiale. On dira que ce système est dans le domaine "élastique".

Cette loi, très importante, permet de décomposer un chargement complexe en la somme de chargements simples. Les applications de cette loi seront étudiées dans les prochains chapitres.

3/ Définition de la notion de contrainte:

Nous avons vu que les forces extérieures appliquées au système peuvent se réduire, au niveau d'une section droite, par des composantes N, Ty, Tz, Mtx'Mty'Mtz représentées au point "G" centre de gravité de la section.

Cette analyse conduit à retenir que les efforts se transmettent d'une section à la section voisine uniquement par concentrations des actions au centre de gravité; Bien entendu cette approche n'est pas conforme à la réalité.en fait les efforts se transmettent d'une section à l'autre par chaque grain de matière.

Nous désignerons par "ds" une surface élémentaire d'une section droite (S) quelconque. "M" est le point situé au centre de gravité de "ds".

Par définition nous appellerons"contrainte" la valeur de la force élémentaire c.ds Lorsque "ds" tend vers 0.

La somme des actions des forces élémentaires "c.ds" est égale aux composantes concentrées au point"G" centre de gravité de "S"

Nous allons chercher les relations entres les composantes de "c.ds" pour l'ensemble des points "M" et les composantes N, T, Tz, Mtx, Mty, Mtz au point "G".

4.0 relations entre c.ds et N, Ty, Tz, Mtx, Mty, Mtz

Exprimons que la somme des "c.ds"étendue à la section"S" est égale aux composantes de "R" et "Mt R" appliquée en G ".

En identifiant l'égalité terme à terme on obtient:

Nous pouvons également exprimer que la somme des moments des" c.ds", par rapport au point"G" est égale au moment résultant"Mt R":