Reponse a l'exercice
Calul des charges
Poids propre de la poutre G1 = 2(0.08´0,23´1´500) = 18,4 kg /ml
Poids de l’étanchéité G2 = 10 kg /m2
Surcharges d’exploitation P = 5 kg /m2
Charges climatiques normales de neige Pan = 45 kg /m2
Charges climatiques normales de vent Pcv = -56 kg /m2
Dans un premier temps, il faut évaluer les charges qui sont reportées sur la poutre étudiée. Ces charges dépendent de l’entre-axe entre les poutres, dans notre exemple égal à 5m. Les charges de «surface» sur la toiture deviennent donc des charges par metre lineaire sur la poutre étudiée :
Dans un premier temps, il faut évaluer les charges qui sont reportées sur la poutre étudiée. Ces charges dépendent de l’entre-axe entre les poutres, dans notre exemple égal à 5m. Les charges de «surface» sur la toiture deviennent donc des charges par metre lineaire sur la poutre étudiée :
G1: poids de la poutre = 18.4 kg /ml
G2: poids de l’étanchéité 10´5 = 50.0 kg / ml
P: poids du plafond 5´5 = 25.0 kg / ml
Pcn: poids de la neige normale 45´5 = 225.0 kg /ml
P cv: poids du vent normal -56´5 = -280.0 kg /ml
Combinaison du premier genre
S1 = G + 1,2 P S’1= G + (P) + Pc
gp = 1 ou 0 (prendre la solution la plus défavorable)
Il y a lieu de considérer le faux plafond comme une charge de longue durée vis à vis des déformations, et une surcharge d’exploitation vis à vis des contraintes et vérification au risque de soulèvement.
S1 = (18.4 + 50) + 1.2 x 25 = 98.4 kg/ml
S’1= 18.4 + 50 + 0 + 225 = 293.4 kg/ml
S’1= 18.4 + 50 + 0 + 225 = 293.4 kg/ml
avec gP = 0, faux plafond pris comme surcharge.
S’1= 18.4 + 50 + 25 + 225 = 318.4 kg/ml
avec gP = 1, faux plafond pris comme surcharge.
S’1= 18.4 + 50 - 280 = -186.6 kg/m
Combinaison du deuxième genre
S2 = 1,1G + 1,5 P+ gce (Pce)
gce = 0 si Pce est de sens différent à P et à G
gce = 1,1 si Pce est de même sens à P et à G
S2 = [(18.4 + 50 +25)x 1.1 ]+ 1.1 x 1.75 x 225 = 535.86 kg/ml
S2 = [(18.4 + 50 +25)x 1.1 ]+ 0 x 1.75 x - 280 = 102.74 kg/ml
S2 = 1,1G + 1,5 P+ gce (Pce)
gce = 0 si Pce est de sens différent à P et à G
gce = 1,1 si Pce est de même sens à P et à G
S2 = [(18.4 + 50 +25)x 1.1 ]+ 1.1 x 1.75 x 225 = 535.86 kg/ml
S2 = [(18.4 + 50 +25)x 1.1 ]+ 0 x 1.75 x - 280 = 102.74 kg/ml
S’2 = 0,9G + gce (Pce)
gce = 1,1 ou 0 prendre le plus défavorable
S’2 = 0,9( 18.4 + 50 +25 ) + 1.1 x 1.75 x 225 = 517.19 kg/ml
S’2 = 0,9( 18.4 + 50 ) + 1.1 x 1.75 x - 280 = -477.44 kg/ml
L L es solutions les plus défavorables sont :
1/ 1er genre:
1/ 1er genre:
S’1 = 318.4 kg/m S’1 = -186.6 kg/ml
2/ 2eme genre:
2/ 2eme genre:
S’2 = 535.86 kg/ml S’2 = -477.44 kg/ml
Remarques :
Remarques :
Sous sollicitations du 1er genre ,il faut vérifier que les contraintes et déformations restent inférieures aux valeurs admissibles.Sous sollicitations du 2 èmè genre, il faut vérifier que les contraintes restent inférieures aux valeurs limites conventionnelles ci-dessous:
limites d’élasticité des bois massifs:
limites d’élasticité à la compression simple axiale:
La valeur conventionnelle de la limite d’élasticité à la compression simple axiale est fixée forfaitairement à 150% de la contrainte admissible à la compression simple axiale (soit aux 6/11 de la résistance à la rupture par compression).
Limites d’élasticité à la traction simple axiale:
La valeur conventionnelle de la limite d’élasticité à la traction simple axiale est fixée forfaitairement à 225% de la contrainte admissible à la traction simple axiale (soit aux 9/11 de la résistance forfaitaire à la rupture par flexion).
Limite d’élasticité à la flexion simple instantanée:
La valeur conventionnelle de la limite d’élasticité à la flexion simple instantanée est fixée forfaitairement à 175% de la contrainte admissible à la flexion simple (soit 7/11 de la résistance forfaitaire à la rupture par flexion).
Limite d’élasticité au cisaillement longitudinal:
La valeur conventionnelle de la limite d’élasticité au cisaillement longitudinal est fixée forfaitairement à 150% de la contrainte admissible au cisaillement longitudinal (soit 6/11 de la résistance forfaitaire à la rupture par cisaillement longitudinal).
Limite d’élasticité à la traction transversale sans cisaillement:
La valeur conventionnelle de la limite d’élasticité à la traction transversale sans cisaillement est fixée forfaitairement à 150% de la contrainte admissible à la traction transversale sans cisaillement ( soit au 6/11 de la résistance forfaitaire à la rupture par traction transversale sans cisaillement).
Limite d’élasticité à la compression transversale:
la valeur conventionnelle de la limite d’élasticité à la compression transversale est fixée forfaitairement à 150% de la contrainte admissible à la compression transversale (soit au 6/11 de la contrainte admissible à la rupture par compression transversale).
Reprenons l’exemple précédent
Il faut analyser les différentes sollicitations afin de retenir les conditions les plus défavorables :
1/ sous sollicitation 1er genre
1/ sous sollicitation 1er genre
S’1 = 318.4 kg/ml
Calcul des contraintes sous S’1
Mz max. = pl 2/ 8 = 1/8x318 x 6502 = 167 800 kg.m
IGz = (bh3) / 12 = 2x8x(23)3/12 = 16 223 cm4
V = y max = h/2 = 11.5 cm
IGz/V = 16 223/11.5 = 1411 cm3
sf max = 167 800/1411 = 119 bars
contrainte admissible :
Il faut tenir compte des coefficients réducteurs liés à la hauteur de la poutre et le taux d’humidité.
Coefficient lié à la hauteur 0.9(voir tableau page 7)
coefficient lié au taux d’ humidité 1 (voir tableau page 6)
La contrainte admissible forfaitaire en flexion statique pour un bois de catégorie 2 en résineux 109 bars.
en conclusion la contrainte admissible dans notre exemple est:
sf adm 0.9 x 1 x 109 = 98 bars
L’on peut noter que la contrainte calculée est de 119 bars pour une contrainte admissible de 98 bars.
Il faut conclure que la section de notre poutre est insuffisante vis à vis des charges appliquées.
Il existe plusieurs possibilités pour obtenir un résultat satisfaisant :
1.0 Augmenter la section (hauteur)
2.0 Diminuer la portée
3.0 Choisir un bois de catégorie 1
Poursuivons l’exercice en prenant une nouvelle hauteur de 27 cm. En toute rigueur il faudrait reprendre entièrement les calculs dans la mesure ou le poids propre de la poutre augmente.
IGz/V = 26.224/13.5 = 1944 cm3
sf max = 167 800/1944 = 86.3 bars
Cette valeur est inférieure à la contrainte admissible de 98 bars.En toute rigueur la valeur de 98 bars serait également à recalculer, le coefficient réducteur lié à la hauteur étant différent.
