Chapitre N°3 Théorie des poutres (Cours RDM 3/4)

Relation entre N, Ty et Mtz (Partie 2)

Soit une poutre droite à plan moyen chargée dans ce plan.Considérons un tronçon de poutre compris entre 2 sections droites distantes de dx.

Cherchons à exprimer des relations simples entre les éléments de réduction en G₀ et les éléments de réduction en G₁.

On suppose que les valeurs de N, Ty, Mtz sont connues dans la section S₀

A priori les valeurs de N, Ty, Mtz dans la section "S₁" sont différentes de celles en "S₀".mais on peut les exprimer par rapport aux valeurs en S₀ par les expressions suivantes:

                                      N (S1) = - (N (S0) +dN)

                                     Ty (S1) = - (Ty (S0) +dTy)

                                     Mtz (S1) = -(Mtz (S0) +dMtz)

Le signe négatif est justifié par le fait que le tronçon étudié est en équilibre.

Plusieurs cas de chargement peuvent être envisagés entre les 2 sections:

charge verticale ponctuelle "P", charge répartie "p(x)", charge horizontale ponctuelle"H".

Nous allons étudier successivement ces différents cas de charge p.

1/ charge verticale ponctuelle « P »

Ecrivons que le tronçon est en équilibre.

1/Somme des projections des forces sur Gy = 0

        Ty - (Ty+dTy) + P = 0     d'où  dTy = P

2/Somme des projections des forces sur Gx = 0

       N - (N+dN) = 0      d'où  dN = 0

3/Somme des moments par rapport à O’

   

dTy.dx  est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

    

2/ Charge verticale répartie p(x)o

Ecrivons que le tronçon est en équilibre.

1/Somme des projections des forces sur Gy = 0

                  

Ty - (Ty+dTy) + p(x) dx = 0  

       

2/ Somme des projections des forces sur Gx = 0

N - (N+dN) = 0   

d'où  dN = 0

3/ Somme des moments par rapport à  O’

  

   

dty.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre.

3/ charge horizontale  ponctuelle "H"


Écrivons que le tronçon est en équilibre.

1/Somme des projections des forces sur Gy = 0

                  Ty - (Ty+dTy) = 0            d'où  dTy= 0

2/Somme des projections des forces sur Gx = 0

                   N - (N+dN) + H = 0         d'où  dN = H

3/Somme des moments par rapport à G = 0

dTy.dx est un produit de 2 éléments infiniment petits, ce produit est négligeable devant les termes de 1er ordre. D'où :

  

Conclusions sur les relations entres N, Ty, Mtz

Dans le cas des poutres droites à plan moyen chargées dans ce plan uniquement par des forces extérieures verticales les variations de N,Ty,Mtz entres 2 sections proches de dx vérifient les équations suivantes:

Ces expressions permettent d'exprimer les variations de N, Ty, Mtz le long d'une poutre. La difficulté réside dans le fait que la fonction qui définie le chargement n'est pas continue, par conséquence la résolution ne peut se faire que par tronçons.

Deux méthodes peuvent être utilisées.

1/ Par intégration des expressions précédentes .

Cette solution conduit à faire apparaître des constantes d'intégration, les valeurs de ces constantes sont obtenues par interprétations des conditions limites de la poutre : valeurs aux appuis …

2/ Par écriture des équations d'équilibre.

N  + Somme des projections sur Gx des forces situées à gauche de "S" = 0

Ty +  Somme des projections sur Gy des forces situées à gauche de "S" = 0

Mtz + Somme des moments / G des forces situées à gauche de "S" = 0

A partir de ces  expressions il est possible de représenter graphiquement les variations :N,Ty,Mtz  en fonction de x.

Le chapitre suivant à pour objet l'application de ces notions dans les cas les plus courants.